復(fù)合梁正應(yīng)力分布規(guī)律實(shí)驗(yàn)
一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?br /> 1. 用電測法測定疊梁，復(fù)合梁在彎曲受力狀態(tài)下，沿其橫截面高度的正應(yīng)變（正應(yīng)力）分布規(guī)律。
2. 推導(dǎo)疊梁，復(fù)合梁的正應(yīng)力計(jì)算公式。
二、實(shí)驗(yàn)儀器和設(shè)備
1. 純彎曲梁實(shí)驗(yàn)裝置（純彎曲梁復(fù)合梁）。
2. 靜態(tài)數(shù)字電阻應(yīng)變儀。
三、實(shí)驗(yàn)原理及步驟
1. 實(shí)驗(yàn)原理
復(fù)合梁的材料為鋁梁和鋼梁，上層是鋁梁，其彈性模量分別為E=70GN/m2和E=210GN/m2。復(fù)合梁上總過貼上了12各應(yīng)變片，每個梁各6個。
1. 幾何、物理和靜力學(xué)關(guān)系
以材料尺寸相同的兩層矩形截面復(fù)合梁在純彎 曲情況下為計(jì)算模型，在其縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，承受彎矩 M的作用。上梁的彈性模量為E1，橫截面面積為A1，下梁的彈性模量為E2，橫截面面積為A2，且A1=A2，單梁的梁寬和梁高分別為b和h，在其縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，承受彎矩M的作用。兩種不同的材料由膠粘合制成。下面建立橫截面上的彎曲正應(yīng)力公式，平面假設(shè)與單向假設(shè)均成立。
設(shè)中性層的曲率半徑為
，并沿截面縱向?qū)ΨQ軸與中性軸分別建立坐標(biāo)軸y與z，中性層離交界面的距離為e。
（1）變形幾何關(guān)系。根據(jù)平面假設(shè)可知，橫截面上y處的縱向正應(yīng)變?yōu)?
（6-1）
（2）物理關(guān)系。依胡克定律
，而
由式（1）帶入，可以得出不同材料區(qū)的彎曲正應(yīng)力分別為：
，
（6-2）
（3）靜力學(xué)平衡關(guān)系。根據(jù)受力分析，由靜力學(xué)平衡關(guān)系，考慮橫截面上內(nèi)力的平衡，
，可以得出：
（6-3）
由
組成的內(nèi)力系，在橫截面上形成一個內(nèi)力偶矩M，即為橫截面上的彎矩M，即：
（6-4）
2. 確定中性層位置
將式（2）代入式（3）中，得
令
則
（6-5）
則
并且，令
將
和
帶入式（5）得：
（6-6）
3. 推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式
將式（2）代入式（4），得：
令
，
其中
、
分別為截面
、
對中性軸的慣性矩。由于各梁曲率相同，經(jīng)變化得：
（6-7）
再將式（7）代入式（2），得：
，
（6-8）
式中、分別為、
對共同中性軸Z的慣性矩。
由單向應(yīng)力狀態(tài)的虎克定律公式
，可求出應(yīng)力實(shí)驗(yàn)值。應(yīng)力實(shí)驗(yàn)值與應(yīng)力理論值進(jìn)行比較，以驗(yàn)證復(fù)合梁的正應(yīng)力計(jì)算公式。
2. 實(shí)驗(yàn)步驟
1. 首先確定單梁的物理參數(shù)，得到h=20mm，b=20mm，c=150mm。
2. 啟動實(shí)驗(yàn)裝置，將各應(yīng)變片分別接到各個AB通道之間，同時把公共補(bǔ)償片接到
上，并且把C通道與短接片短接。
3. 進(jìn)行實(shí)驗(yàn)：
a.取初載荷0.5kN，每次逐級加1.0kN，直至4.5kN，總共分4次加載。
b.接完線路以及加初載荷之前都要重復(fù)置零。
c.每次加載完畢都要記錄下數(shù)據(jù)。
四、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)
表6-1 Ⅰ梁應(yīng)變數(shù)據(jù)表
表6-2 Ⅱ梁應(yīng)變數(shù)據(jù)表
五、數(shù)據(jù)處理
1. 根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算各點(diǎn)的平均應(yīng)變，求出各點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)應(yīng)力值，并計(jì)算出各點(diǎn)的理論應(yīng)力值；計(jì)算實(shí)驗(yàn)應(yīng)力值與理論應(yīng)力值的相對誤差。
答：根據(jù)上面實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，結(jié)合材料力學(xué)相關(guān)知識計(jì)算如下：
（1）由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，各應(yīng)變片處的平均應(yīng)變值為：
Ⅰ梁上
處的平均應(yīng)變?yōu)椋?br />
Ⅰ梁上
處的平均應(yīng)變?yōu)椋?br />
Ⅰ梁上
處的平均應(yīng)變?yōu)椋?br />
Ⅰ梁上
處的平均應(yīng)變?yōu)椋?br />
Ⅰ梁上
處的平均應(yīng)變?yōu)椋?br />
Ⅰ梁上
處的平均應(yīng)變?yōu)椋?br />
Ⅱ梁上處的平均應(yīng)變?yōu)椋?br />
Ⅱ梁上處的平均應(yīng)變?yōu)椋?br />
Ⅱ梁上
處的平均應(yīng)變?yōu)椋?br />
Ⅱ梁上處的平均應(yīng)變?yōu)椋?br />
Ⅱ梁上
處的平均應(yīng)變?yōu)椋?br />
Ⅱ梁上
處的平均應(yīng)變?yōu)椋?br />
（2）各應(yīng)變片處的實(shí)驗(yàn)應(yīng)力值為：
Ⅰ梁上處的應(yīng)力值為：
Ⅰ梁上
處的應(yīng)力值為：
Ⅰ梁上處的應(yīng)力值為：
Ⅰ梁上
處的應(yīng)力值為：
Ⅰ梁上處的應(yīng)力值為：
Ⅰ梁上
處的應(yīng)力值為：
Ⅱ梁上處的應(yīng)力值為：
Ⅱ梁上處的應(yīng)力值為：
Ⅱ梁上
處的應(yīng)力值為：
Ⅱ梁上處的應(yīng)力值為：
Ⅱ梁上處的應(yīng)力值為：
Ⅱ梁上處的應(yīng)力值為：
（3）理論計(jì)算試件上個應(yīng)變片處的理論應(yīng)力值
加載的力的大小為F=1000N。復(fù)合梁的單梁截面厚度b=20mm，高度h=20mm，截面作用點(diǎn)到梁支點(diǎn)的距離為c=150mm。設(shè)n=E2/E1=210/70=3，中性軸位置的偏移量為：
因此，可得到復(fù)合梁Ⅰ和復(fù)合梁Ⅱ正應(yīng)力計(jì)算公式分別為
其中
根據(jù)材料力學(xué)知識分析如下：
Ⅰ梁上處計(jì)算應(yīng)力值為：
Ⅰ梁上處計(jì)算應(yīng)力值為：
Ⅰ梁上處計(jì)算應(yīng)力值為：
Ⅰ梁上處計(jì)算應(yīng)力值為：
Ⅰ梁上處計(jì)算應(yīng)力值為：
Ⅰ梁上處計(jì)算應(yīng)力值為：
Ⅱ梁上處計(jì)算應(yīng)力值為：
Ⅱ梁上處計(jì)算應(yīng)力值為：
Ⅱ梁上處計(jì)算應(yīng)力值為：
Ⅱ梁上處計(jì)算應(yīng)力值為：
Ⅱ梁上處計(jì)算應(yīng)力值為：
Ⅱ梁上處計(jì)算應(yīng)力值為：
（4）計(jì)算實(shí)驗(yàn)應(yīng)力值與理論應(yīng)力值的相對誤差
Ⅰ梁上處應(yīng)力值的相對誤差為：
Ⅰ梁上處應(yīng)力值的相對誤差為：
Ⅰ梁上處應(yīng)力值的相對誤差為：
Ⅰ梁上處應(yīng)力值的相對誤差為：
Ⅰ梁上處應(yīng)力值的相對誤差為：
Ⅰ梁上處應(yīng)力值的相對誤差為：
Ⅱ梁上處應(yīng)力值的相對誤差為：
Ⅱ梁上
處應(yīng)力值的相對誤差為：
Ⅱ梁上處應(yīng)力值的相對誤差為：
Ⅱ梁上處應(yīng)力值的相對誤差為：
Ⅱ梁上處應(yīng)力值的相對誤差為：
Ⅱ梁上處應(yīng)力值的相對誤差為：
2. 上述的各點(diǎn)應(yīng)力的實(shí)驗(yàn)值與應(yīng)力的理論值，將兩者進(jìn)行比較�？梢缘贸觯簩�(shí)驗(yàn)值與理論值的結(jié)果十分接近，說明復(fù)合梁的正應(yīng)力計(jì)算公式成立。
六、實(shí)驗(yàn)結(jié)果
根據(jù)前面計(jì)算可以看出，實(shí)驗(yàn)計(jì)算的結(jié)果和理論計(jì)算的結(jié)果基本吻合�，F(xiàn)列表如下：
表6-2 結(jié)果對比表
一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?br /> 1. 用電測法測定疊梁，復(fù)合梁在彎曲受力狀態(tài)下，沿其橫截面高度的正應(yīng)變（正應(yīng)力）分布規(guī)律。
2. 推導(dǎo)疊梁，復(fù)合梁的正應(yīng)力計(jì)算公式。
二、實(shí)驗(yàn)儀器和設(shè)備
1. 純彎曲梁實(shí)驗(yàn)裝置（純彎曲梁復(fù)合梁）。
2. 靜態(tài)數(shù)字電阻應(yīng)變儀。
三、實(shí)驗(yàn)原理及步驟
1. 實(shí)驗(yàn)原理
復(fù)合梁的材料為鋁梁和鋼梁，上層是鋁梁，其彈性模量分別為E=70GN/m2和E=210GN/m2。復(fù)合梁上總過貼上了12各應(yīng)變片，每個梁各6個。
1. 幾何、物理和靜力學(xué)關(guān)系
以材料尺寸相同的兩層矩形截面復(fù)合梁在純彎 曲情況下為計(jì)算模型，在其縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，承受彎矩 M的作用。上梁的彈性模量為E1，橫截面面積為A1，下梁的彈性模量為E2，橫截面面積為A2，且A1=A2，單梁的梁寬和梁高分別為b和h，在其縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，承受彎矩M的作用。兩種不同的材料由膠粘合制成。下面建立橫截面上的彎曲正應(yīng)力公式，平面假設(shè)與單向假設(shè)均成立。
設(shè)中性層的曲率半徑為
，并沿截面縱向?qū)ΨQ軸與中性軸分別建立坐標(biāo)軸y與z，中性層離交界面的距離為e。（1）變形幾何關(guān)系。根據(jù)平面假設(shè)可知，橫截面上y處的縱向正應(yīng)變?yōu)?
（6-1）（2）物理關(guān)系。依胡克定律
，而由式（1）帶入，可以得出不同材料區(qū)的彎曲正應(yīng)力分別為：， （6-2）（3）靜力學(xué)平衡關(guān)系。根據(jù)受力分析，由靜力學(xué)平衡關(guān)系，考慮橫截面上內(nèi)力的平衡，
，可以得出： （6-3） 由
組成的內(nèi)力系，在橫截面上形成一個內(nèi)力偶矩M，即為橫截面上的彎矩M，即： （6-4）2. 確定中性層位置
將式（2）代入式（3）中，得
令
則
（6-5）則
并且，令
將
和帶入式（5）得： （6-6）3. 推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式
將式（2）代入式（4），得：
令
，其中
、分別為截面、對中性軸的慣性矩。由于各梁曲率相同，經(jīng)變化得： （6-7）再將式（7）代入式（2），得：
， （6-8）式中
、分別為、對共同中性軸Z的慣性矩。由單向應(yīng)力狀態(tài)的虎克定律公式
，可求出應(yīng)力實(shí)驗(yàn)值。應(yīng)力實(shí)驗(yàn)值與應(yīng)力理論值進(jìn)行比較，以驗(yàn)證復(fù)合梁的正應(yīng)力計(jì)算公式。2. 實(shí)驗(yàn)步驟
1. 首先確定單梁的物理參數(shù)，得到h=20mm，b=20mm，c=150mm。
2. 啟動實(shí)驗(yàn)裝置，將各應(yīng)變片分別接到各個AB通道之間，同時把公共補(bǔ)償片接到
上，并且把C通道與短接片短接。3. 進(jìn)行實(shí)驗(yàn)：
a.取初載荷0.5kN，每次逐級加1.0kN，直至4.5kN，總共分4次加載。
b.接完線路以及加初載荷之前都要重復(fù)置零。
c.每次加載完畢都要記錄下數(shù)據(jù)。
四、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)
表6-1 Ⅰ梁應(yīng)變數(shù)據(jù)表
表6-2 Ⅱ梁應(yīng)變數(shù)據(jù)表
五、數(shù)據(jù)處理1. 根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算各點(diǎn)的平均應(yīng)變，求出各點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)應(yīng)力值，并計(jì)算出各點(diǎn)的理論應(yīng)力值；計(jì)算實(shí)驗(yàn)應(yīng)力值與理論應(yīng)力值的相對誤差。
答：根據(jù)上面實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，結(jié)合材料力學(xué)相關(guān)知識計(jì)算如下：
（1）由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，各應(yīng)變片處的平均應(yīng)變值為：
Ⅰ梁上
處的平均應(yīng)變?yōu)椋?br />
Ⅰ梁上
處的平均應(yīng)變?yōu)椋?br />
Ⅰ梁上
處的平均應(yīng)變?yōu)椋?br />
Ⅰ梁上
處的平均應(yīng)變?yōu)椋?br />
Ⅰ梁上
處的平均應(yīng)變?yōu)椋?br />
Ⅰ梁上
處的平均應(yīng)變?yōu)椋?br />
Ⅱ梁上處的平均應(yīng)變?yōu)椋?br />
Ⅱ梁上
處的平均應(yīng)變?yōu)椋?br />
Ⅱ梁上
處的平均應(yīng)變?yōu)椋?br />
Ⅱ梁上
處的平均應(yīng)變?yōu)椋?br />
Ⅱ梁上
處的平均應(yīng)變?yōu)椋?br />
Ⅱ梁上
處的平均應(yīng)變?yōu)椋?br />
（2）各應(yīng)變片處的實(shí)驗(yàn)應(yīng)力值為：
Ⅰ梁上
處的應(yīng)力值為：Ⅰ梁上
處的應(yīng)力值為：Ⅰ梁上
處的應(yīng)力值為：Ⅰ梁上
處的應(yīng)力值為：Ⅰ梁上
處的應(yīng)力值為：Ⅰ梁上
處的應(yīng)力值為：Ⅱ梁上
處的應(yīng)力值為：Ⅱ梁上
處的應(yīng)力值為：Ⅱ梁上
處的應(yīng)力值為：Ⅱ梁上
處的應(yīng)力值為：Ⅱ梁上
處的應(yīng)力值為：Ⅱ梁上
處的應(yīng)力值為：（3）理論計(jì)算試件上個應(yīng)變片處的理論應(yīng)力值
加載的力的大小為F=1000N。復(fù)合梁的單梁截面厚度b=20mm，高度h=20mm，截面作用點(diǎn)到梁支點(diǎn)的距離為c=150mm。設(shè)n=E2/E1=210/70=3，中性軸位置的偏移量為：
因此，可得到復(fù)合梁Ⅰ和復(fù)合梁Ⅱ正應(yīng)力計(jì)算公式分別為
其中
根據(jù)材料力學(xué)知識分析如下：
Ⅰ梁上
處計(jì)算應(yīng)力值為：Ⅰ梁上
處計(jì)算應(yīng)力值為：Ⅰ梁上
處計(jì)算應(yīng)力值為：Ⅰ梁上
處計(jì)算應(yīng)力值為：Ⅰ梁上
處計(jì)算應(yīng)力值為：Ⅰ梁上
處計(jì)算應(yīng)力值為：Ⅱ梁上
處計(jì)算應(yīng)力值為：Ⅱ梁上
處計(jì)算應(yīng)力值為：Ⅱ梁上
處計(jì)算應(yīng)力值為：Ⅱ梁上
處計(jì)算應(yīng)力值為：Ⅱ梁上
處計(jì)算應(yīng)力值為：Ⅱ梁上
處計(jì)算應(yīng)力值為：（4）計(jì)算實(shí)驗(yàn)應(yīng)力值與理論應(yīng)力值的相對誤差
Ⅰ梁上
處應(yīng)力值的相對誤差為：Ⅰ梁上
處應(yīng)力值的相對誤差為：Ⅰ梁上
處應(yīng)力值的相對誤差為：Ⅰ梁上
處應(yīng)力值的相對誤差為：Ⅰ梁上
處應(yīng)力值的相對誤差為：Ⅰ梁上
處應(yīng)力值的相對誤差為：Ⅱ梁上
處應(yīng)力值的相對誤差為：Ⅱ梁上
處應(yīng)力值的相對誤差為：Ⅱ梁上
處應(yīng)力值的相對誤差為：Ⅱ梁上
處應(yīng)力值的相對誤差為：Ⅱ梁上
處應(yīng)力值的相對誤差為：Ⅱ梁上
處應(yīng)力值的相對誤差為：2. 上述的各點(diǎn)應(yīng)力的實(shí)驗(yàn)值與應(yīng)力的理論值，將兩者進(jìn)行比較�？梢缘贸觯簩�(shí)驗(yàn)值與理論值的結(jié)果十分接近，說明復(fù)合梁的正應(yīng)力計(jì)算公式成立。
六、實(shí)驗(yàn)結(jié)果
根據(jù)前面計(jì)算可以看出，實(shí)驗(yàn)計(jì)算的結(jié)果和理論計(jì)算的結(jié)果基本吻合�，F(xiàn)列表如下：
表6-2 結(jié)果對比表
| 梁 | Ⅰ梁 | Ⅱ梁 | ||||||||||
| 應(yīng)變片 |
|
|
|
|
 |
 |
|
|
 |
|
|
|
| 相對中性軸的坐標(biāo)y/mm | -7 | -11 | -15 | -19 | -23 | -25 | -3 | 1 | 5 | 9 | 13 | 15 |
| 實(shí)驗(yàn)應(yīng)力值/MPa | -3.1 | -4.8 | -6.5 | -8.2 | -10.0 | -10.9 | -3.5 | 1.8 | 6.7 | 11.8 | 16.9 | 19.6 |
| 理論應(yīng)力值/MPa | -3.0 | -4.8 | -6.5 | -8.2 | -10.0 | -10.8 | -3.9 | 1.3 | 6.5 | 11.7 | 16.9 | 19.5 |
| 相對誤差/% | 2.2 | 1.1 | 0.5 | 0.2 | 0.2 | 0.4 | 11.1 | 37.4 | 3.5 | 0.6 | 0.1 | 0.8 |
從表中可以看出，理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本吻合，相對誤差不大。實(shí)驗(yàn)從某種方面上證實(shí)了理論知識。數(shù)據(jù)可用。
七、思考題
1． 復(fù)合梁中性層為何偏移？
答：因?yàn)閮煞N材料的抗彎能力以及抗拉能力不同，導(dǎo)致在同等應(yīng)力條件下，兩個截面對稱位置發(fā)生的應(yīng)變不同。抗彎能力以及抗拉能力強(qiáng)的材料發(fā)生的變形小于另一種材料，因此中性層就向下偏移了。
2. 如何理解復(fù)合梁實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)兩個中性層？
復(fù)合梁雖然中間是由物理或化學(xué)方法進(jìn)行了連接，但是其實(shí)際上不是一個材料性質(zhì)連續(xù)的整體。因此在兩種材料的交界面上會產(chǎn)生應(yīng)力的突變，在整個復(fù)合梁的橫截面上，應(yīng)力不是連續(xù)的，因此可能出現(xiàn)兩個中性層。
七、思考題
1． 復(fù)合梁中性層為何偏移？
答：因?yàn)閮煞N材料的抗彎能力以及抗拉能力不同，導(dǎo)致在同等應(yīng)力條件下，兩個截面對稱位置發(fā)生的應(yīng)變不同。抗彎能力以及抗拉能力強(qiáng)的材料發(fā)生的變形小于另一種材料，因此中性層就向下偏移了。
2. 如何理解復(fù)合梁實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)兩個中性層？
復(fù)合梁雖然中間是由物理或化學(xué)方法進(jìn)行了連接，但是其實(shí)際上不是一個材料性質(zhì)連續(xù)的整體。因此在兩種材料的交界面上會產(chǎn)生應(yīng)力的突變，在整個復(fù)合梁的橫截面上，應(yīng)力不是連續(xù)的，因此可能出現(xiàn)兩個中性層。